Bukti Alternatif Sifat Simetri Fungsi Partisi Crank Dyson-Andrews-Garvan
Abstract
Partisi dari suatu bilangan bulat positif n adalah barisan tak naik atas bilangan bu-
lat positif berhingga sehingga jumlahnya adalah n. Salah satu hal yang dikaji oleh
beberapa peneliti dalam partisi bilangan bulat adalah fungsi crank. Untuk setiap bi-
langan bulat positif n dan partisi x dari n, crank dari x didefinisikan sebagai penjum-
lah terbesar di x jika x tidak memuat penjumlah 1; sebagai selisih antara banyaknya
penjumlah yang lebih dari banyaknya penjumlah 1 di x dan banyaknya penjumlah 1
di x. Didefinisikan fungsi crank M(m, j, n) yang menyatakan banyaknya partisi dari
n dengan crank kongruen m modulo j. Pada penelitian ini, dibahas terkait bukti
alternatif sifat simetri fungsi partisi crank, yaitu M(m, j, n) = M(−m, j, n). Bukti
diberikan menggunakan interpretasi kombinatorial melalui konstruksi fungsi bijektif
yang memetakan partisi dengan syarat tertentu ke partisi dengan syarat tertentu
lainnya.
Keywords
Full Text:
PDFReferences
G. E. Andrews, The Theory of Partitions. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1984.
G. E. Andrews and K. Eriksson, Integer Partitions. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
F. J. Dyson, ”Some guesses in the theory of partitions,” Cambridge: Eureka, vol. 8, no. 10, pp. 10-15, 1944.
G. E. Andrews and F. G. Garvan, ”Dyson’s crank of a partition,” Bulletin of the American Mathematical
Society, vol. 18, no. 2, pp. 167-171, 1988.
F. G. Garvan, ”New combinatorial interpretations of Ramanujan’s partition congruences mod 5, 7 and 11,”
Transactions of the American Mathematical Society, vol. 305, no. 1, pp. 47-77, 1988.
F. G. Garvan, ”The crank of partitions mod 8, 9 and 10,” Transactions of the American Mathematical
Society, vol. 322, no. 1, pp. 79-94, 1990.
A. Berkovich and F. G. Garvan, ”Some observations on Dyson’s new symmetries of partitions,” Journal of
Combinatorial Theory, Series A, vol. 100, no. 1, pp. 61-93, 2002.
I. Konan, ”A Bijective Proof of a Generalization of the Non-Negative Crank-Odd Mex Identity,” The
Electronic Journal of Combinatorics, vol. 30, no. 1, 2023, Art. no. 41.
B. Hopkins, J. A. Sellers, and D. Stanton, ”Dyson’s crank and the mex of integer partitions,” Journal of
Combinatorial Theory, Series A, vol. 185, 2022, Art. no. 105523.
B. Hopkins, J. A. Sellers, and A. J. Yee, ”Combinatorial perspectives on the crank and mex partition
statistics,” Electronic Journal of Combinatorics, vol. 29, no. 2, 2022, Art. no. 11.
K. Mahlburg, ”Partition congruences and the Andrews-Garvan-Dyson crank,” in Proceedings of the National
Academy of Sciences, 2005, vol. 102, no. 43, pp. 15373-15376.
B. L. Lin, L. Peng, and P. C. Toh, ”Weighted generalized crank moments for k-colored partitions and
Andrews-Beck type congruences,” Discrete Mathematics, vol. 344, no. 8, 2021, Art. no. 112450.
K. Bringmann, and J. Dousse, ”On Dyson’s crank conjecture and the uniform asymptotic behavior of
certain inverse theta functions,” Transactions of the American Mathematical Society, vol. 368, no. 5, pp.
-3155, 2016.
I. Pak, ”Partition bijections, a survey,” The Ramanujan Journal, vol. 12, no. 1, pp. 5-75, 2006.
A. A. Prastya and U. Isnaini, ”Interpretasi Kombinatorial Kongruensi Fungsi Partisi Biner Modulo 2,”
Journal of Mathematics UNP, vol. 8, no. 1, pp. 85-91, 2023.
J. B. Remmel, ”Bijective proofs of some classical partition identities,” Journal of Combinatorial Theory,
Series A, vol. 33, no. 3, pp. 273-286, 1982.
DOI: https://doi.org/10.24198/jmi.v20.n1.53676.47-62
Refbacks
- There are currently no refbacks.
Copyright (c) 2024 Jurnal Matematika Integratif
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
Published By:
Department of Matematics, FMIPA, Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung-Sumedang KM. 21 Jatinangor
Indexed by:
Visitor Number : View My Stats
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.